|C(g)|>p einer p-Gruppe < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei p eine Primzahl und G eine Gruppe der Ordnung [mm] p^n, n\ge2 [/mm] . C(g) sei der Zentralisator eines Elements g [mm] \in [/mm] G. Zeigen Sie:
|C(g)|>p. |
Hallihallo!
Also ich hab mir mal Folgendes zu dieser Aufgabe überlegt:
Sei G nichtabelsch. Zentrum Z(G) ist abelsch und [mm] Z(G)\not= \{e\}, [/mm] da [mm] |G|=p^n
[/mm]
Als Untergruppe von G hat Z(G) nach Lagrange als Ordnung eine Potenz von p.
[mm]Z(G)=\{a \in G | fuer alle[/mm] [mm]c \in G : ac = ca\}[/mm]
[mm]C(g)=\{b \in G | gb = bg\}[/mm]
Ich weiß auch, dass Z(G) [mm] \le [/mm] C(g) ist.
Hilft mir das beim Lösen dieser Aufgabe weiter?
Ich steck hier nämlich in einer Sackgasse!
Dass |C(g)|>p STRIKT größer als p sein soll macht mir auch noch Kopfzerbrechen!!!???
Vielleicht hat ja jemand eine bessere und vorallem weiterführende Idee!?!
Liebe Grüße,
Nicole
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:12 So 30.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Nicole!
> Es sei p eine Primzahl und G eine Gruppe der Ordnung [mm]p^n, n\le2[/mm]
Du meinst sicher $n [mm] \ge [/mm] 2$, oder?
> . C(g) sei der Zentralisator eines Elements g [mm]\in[/mm] G. Zeigen
> Sie:
> |C(g)|>p.
> Hallihallo!
>
> Also ich hab mir mal Folgendes zu dieser Aufgabe überlegt:
>
> Sei G nichtabelsch. Zentrum Z(G) ist abelsch und [mm]Z(G)\not= \{e\},[/mm]
> da [mm]|G|=p^n[/mm]
> Als Untergruppe von G hat Z(G) nach Lagrange als Ordnung
> eine Potenz von p.
> [mm]Z(G)=\{a \in G |[/mm] fuer alle [mm]c \in G : ac = ca\}[/mm]
> [mm]C(g)=\{b \in G | gb = bg\}[/mm]
>
> Ich weiß auch, dass Z(G) [mm]\le[/mm] C(g) ist.
> Hilft mir das beim Lösen dieser Aufgabe weiter?
> Ich steck hier nämlich in einer Sackgasse!
>
> Dass |C(g)|>p STRIKT größer als p sein soll macht mir auch
> noch Kopfzerbrechen!!!???
Dass $|C(g)| [mm] \ge [/mm] p$ ist folgt ja aus $p [mm] \le [/mm] |Z(G)| [mm] \le [/mm] |C(g)|$, aber das hattest du ja schon (oder?).
Angenommen, $|C(g)| = p$. Dann ist insbesondere $C(g) = Z(G)$. Betrachte nun die Nebenklasse $g Z(G)$. Jedes Element aus dieser Nebenklasse liegt im Zentralisator $C(g)$, wie du leicht nachrechnen kannst; dann muss aber $g Z(G) [mm] \subseteq [/mm] C(g) = Z(G)$ sein, was aber nicht sein kann (weisst du wieso?).
LG Felix
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Hallo Felix,
Du hast mir schon so viel geholfen!
Ich hab auch das Gefühl, dass ich seit letztem Freitag wirklich viel gelernt hab! Fühl mich schon richtig gut dabei!
Und dann kommen wieder solche Sachen, die supereinfach aussehen und ich komm trotzdem nicht dahinter!
Ich könnt mich echt selber in den A... beißen!
Na ja, hab wieder ein paar dämliche Fragen übrig, dann will ich mal anfangen:
> Hallo Nicole!
>
> > Es sei p eine Primzahl und G eine Gruppe der Ordnung [mm]p^n, n\le2[/mm]
>
> Du meinst sicher [mm]n \ge 2[/mm], oder?
Ja ;)
>
> Dass [mm]|C(g)| \ge p[/mm] ist folgt ja aus [mm]p \le |Z(G)| \le |C(g)|[/mm],
> aber das hattest du ja schon (oder?).
>
Ja, war wohl etwas undeutlich! ;)
> Angenommen, [mm]|C(g)| = p[/mm]. Dann ist insbesondere [mm]C(g) = Z(G)[/mm].
Ja
> Betrachte nun die Nebenklasse [mm]g Z(G)[/mm]. Jedes Element aus
> dieser Nebenklasse liegt im Zentralisator [mm]C(g)[/mm], wie du
> leicht nachrechnen kannst; dann muss aber [mm]g Z(G) \subseteq C(g) = Z(G)[/mm]
Da Z(G) abelsch, gilt gZ(G)=Z(G)g???
Dann liegen alle Elemente gz [mm] \in [/mm] gZ(G) in [mm]C(g)[/mm]
Gilt auch |gZ(G)| = |Z(G)| , da es ja eine Linksnebenklasse ist???
> sein, was aber nicht sein kann (weisst du wieso?).
Nö, ich hab jetzt wieder Bücher gewältzt. Wenn die Sachen stimmen, die ich gefunden habe, dann sagt das doch einfach nur, dass |gZ(G)| = |Z(G)| = |C(g)|, was ja so sein muss, wenn |C(g)|=p ist!?!?!
Also weiß ich nicht warum das keine Teilmenge sein kann!
Ich werd noch VERRÜCKT!
> LG Felix
>
LG
Nicole
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:03 Mo 01.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Nicole!
> Du hast mir schon so viel geholfen!
> Ich hab auch das Gefühl, dass ich seit letztem Freitag
> wirklich viel gelernt hab! Fühl mich schon richtig gut
> dabei!
> Und dann kommen wieder solche Sachen, die supereinfach
> aussehen und ich komm trotzdem nicht dahinter!
> Ich könnt mich echt selber in den A... beißen!
Och, es gibt viele mathematische Probleme die sich sehr einfach formulieren lassen, die trotzdem extrem schwer zu beweisen sind. Wie z.B. der letzte Satz von Fermat.
> Na ja, hab wieder ein paar dämliche Fragen übrig, dann
> will ich mal anfangen:
``Es gibt keine daemlichen Fragen, nur daemliche Antworten.'' 
> > Angenommen, [mm]|C(g)| = p[/mm]. Dann ist insbesondere [mm]C(g) = Z(G)[/mm].
>
> Ja
>
> > Betrachte nun die Nebenklasse [mm]g Z(G)[/mm]. Jedes Element aus
> > dieser Nebenklasse liegt im Zentralisator [mm]C(g)[/mm], wie du
> > leicht nachrechnen kannst; dann muss aber [mm]g Z(G) \subseteq C(g) = Z(G)[/mm]
>
> Da Z(G) abelsch, gilt gZ(G)=Z(G)g???
Das liegt daran, dass die Elemente aus $Z(G)$ mit jedem Element aus $G$ kommutieren. Wenn $Z(G)$ nur eine beliebige abelsche Untergruppe waere wuerde das nicht umbedingt gelten.
Hier brauchst du allerdings sogar, dass $g z = z g$ ist fuer alle $z [mm] \in [/mm] Z(G)$. Wenn nur $g Z(G) = Z(G) g$ ist kann es ja sein, dass die Elemente sozusagen in verschiedenen Reihenfolgen auftreten.
> Dann liegen alle Elemente gz [mm]\in[/mm] gZ(G) in [mm]C(g)[/mm]
Genau.
> Gilt auch |gZ(G)| = |Z(G)| , da es ja eine Linksnebenklasse ist???
Genau.
> > sein, was aber nicht sein kann (weisst du wieso?).
>
> Nö, ich hab jetzt wieder Bücher gewältzt. Wenn die Sachen
> stimmen, die ich gefunden habe, dann sagt das doch einfach
> nur, dass |gZ(G)| = |Z(G)| = |C(g)|, was ja so sein muss,
> wenn |C(g)|=p ist!?!?!
> Also weiß ich nicht warum das keine Teilmenge sein kann!
Wenn du eine Untergruppe $U$ einer Gruppe $G$ hast und $g U = U$ ist fuer ein $g [mm] \in [/mm] G$, dann ist $g [mm] \in [/mm] U$: Da in $U$ auch das neutrale Element $e$ enthalten ist, ist $g = g e [mm] \in [/mm] g U = U$ enthalten!
Also ist $g [mm] \in [/mm] Z(G)$. Aber wenn $g [mm] \in [/mm] Z(G)$ ist, dann ist $C(g) = G$, da $g$ mit jedem Element aus $G$ kommutiert!
LG Felix
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Hallo Felix!
Also danke für deine Hilfe!
Bist echt ein Schatz!
Jetzt ist alles klar!
LG
Nicole
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